L'ORA LEGALE: UN ESERCIZIO DI ANALISI 1

Esercizio

Siano:

tsolare = variabile temporale secondo l'ora solare espressa in ore;

tlegale = variabile temporale secondo l'ora legale espressa in ore;

Y = intervallo temporale che copre l'anno solare dall'istante corrispondente alle ore 00:00 del primo giorno all'istante corrispondente alle ore 24 dell'ultimo giorno dell'anno; si indaghi sulla funzione che esprime la seconda rispetto alla prima nel dominio D=Y.

Soluzione

Posto:

tinizio = istante corrispondente alle ore 2:00 solari dell'ultima domenica di marzo;

tfine = istante corrispondente alle ore 2:00 solari dell'ultima domenica di ottobre;

la relazione che lega le due variabili sopra indicate è data da:

• se tsolare  < tinizio oppure tsolare > tfine allora tlegale = tsolare ;

• se tinizio ≤ tsolare ≤ tfine allora tlegale = tsolare + 1h ;

Passaggio da ora solare a ora legale

Nel passaggio da ora solare a ora legale (a marzo, per intenderci), si ha una discontinuità di prima specie, il cosiddetto "salto". La funzione si mantiene, tuttavia, iniettiva.

Passaggio dall'ora solare all'ora legale

La nozione intuitiva di funzione iniettiva è che ad ogni elemento del dominio D corrisponde uno, ed un solo, elemento del codominio C.

La traduzione formale di questa nozione è tortuosa: dire che ad ogni elemento di D corrisponde uno, ed un solo, elemento in C equivale a dire che comunque presi due distinti elementi in C allora anche i corrispondenti valori in D saranno distinti; in simboli

per qualsiasi f( t1 ) e f( t2 ) tali che f( t1 ) ≠ f( t2 ) si ha t1 ≠ t2 

Persino in un caso banale come questo, la dimostrazione rigorosa che la funzione si mantiene iniettiva è noiosa. Una mia proposta è di procedere per casi, distinguendo, per i valori dell'ora legale:

1. prima del cambiamento, vale a dire tlegale_1 , tlegale_2 < tinizio+1

2. dopo il cambiamento, vale a dire tlegale_1 , tlegale_2  > tinizio+1;

3. a cavallo del cambiamento, vale a dire tlegale_1 < tinizio e tlegale_2  > tinizio+1

Per risparmiarci l'ulteriore caso corrispondente al 3 con indici scambiati, premettiamo un "senza perdere di generalità".

Per ciascun caso si inverte la funzione, si calcolano i corrispondenti valori dell'ora solare e, sulla base dell'assunzione tlegale_1  ≠ tlegale_2 è banale dedurre che anche tsolare_1  ≠ tsolare_2

La funzione però non è più suriettiva.

La nozione intuitiva di funzione suriettiva è che ad ogni elemento del codominio C corrisponde almeno un elemento del dominio D.

La traduzione formale di questa nozione è meno tortuosa della precedente: in sostanza, stiamo dicendo che comunque preso un elemento in C allora esiste un elemento corrispondente in D; in simboli

per qualsiasi y1 esiste t1 tale che f( t1 ) = y1   

Rispetto al caso precedente, la dimostrazione è più semplice: è sufficiente trovare un controesempio. Intuitivamente è banale: alle ore legali 02:30 dell'ultima domenica di marzo non corrisponde alcuna ora solare, c.v.d..

Formalmente un po' meno banale; si deve scegliere un'ora legale compresa tra tinizio e tinizio+1 e mostrare che nessun ora solare potrà generare quell'ora.

Le conseguenze di questa perdita sono gestibili; in effetti si potrebbe rendere la funzione suriettiva eliminando l'intervallo di tempo legale tra le 2 e le 3 di notte. Avremmo così di nuovo una funzione biiettiva, quindi invertibile, ecc.

La durata in ore (solari o legali) di quest'ultima domenica è di 23 ore, riduzione che comporta una seccatura: il dato aggregato restituisce comunque un valore, tuttavia non confrontabile con quelli dei giorni precedenti (e successivi, perché, dal lunedì successivo, le giornate tornano a durare 24 h).

Sotto il profilo delle serie storiche, vi è un ulteriore seccatura: se eravate abituati a prendere una misura alla stessa ora di ogni giorni, adesso dovete anticipare la misura di un'ora.

Passaggio da ora legale a ora solare

Il passaggio all'ora solare (per intenderci, ad ottobre) è ciò che crea complicazioni per gli informatici. Il motivo, come sempre, non è a livello tecnico, ma concettuale: rispetto a marzo: la situazione si inverte. La funzione pur rimanendo suriettiva, perde la proprietà di essere iniettiva, e questa perdita non è altrettanto semplice da risolvere

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Dal punto di vista grafico, se prima si aveva un "salto" (gradino in salita) verso l'alto, adesso si ha un "salto" verso il basso (una caduta insomma), con effetti molto diversi.

Passaggio dall'ora legale all'ora solare

Al contrario del caso precedente, dimostrare la perdita della proprietà "iniettiva" è banale, perché è sufficiente un controesempio; le due e mezza dell'ultima notte di ottobre ora legale, si verificano in corrispondenza di due valori diversi dell'ora solare: la prima corrisponde alle una e mezza, la seconda alle due e mezza.

La dimostrazione del mantenimento della proprietà "suriettiva" richiede, come nel caso precedente, la necessità di distinguere tre casi. In effetti, se siamo prima o dopo il passaggio dell'ora, il valore è unico, nel mezzo vi sono addirittura due valori, ma comunque un valore si trova sempre. Non vi tedio.

Per eliminare la perdita di "iniettività", l'unica soluzione consiste nello "spezzare" la funzione in due funzioni: la prima il cui codominio termina alle ore 03:00 ora legale (02:00 ora solare), la seconda il cui codominio comincia alle ore 02:00 ora legale (02:00 ora solare). In questo modo si riesce a recuperare - se è noto a quale delle due fare riferimento - la possibilità di invertire la funzione e passare da un tipo di ora all'altro.

Naturalmente l'ultima domenica di ottobre ha

• 24 ore in termini di ora solare;

• 25 ore in termini di ora legale;

che è una seccatura mostruosa, perché la venticinquesima ora non si sa mai dove metterla.

La soluzione informatica adottata da alcuni è stata di prolungare la durata dei giorni a 25 ore, lasciando il valore blank in tutti i giorni dell'anno ad esclusione di quella domenica, ma è evidente che si tratta di una soluzione riprovevole sotto il profilo dell'estetica del coding!

Per quanto concerne dato aggregato e serie storiche valgono considerazioni del tutto analoghe al passaggio precedente.

Lesson learning

Il tempo, l'ho detto e ridetto, non esiste; esiste solo il cambiamento. Scelto, per convenzione, un dispositivo cui assegnare il ruolo di "marcatempo", il "mondo" si adegua a quello per poter attribuire a ciascun evento uno, ed un solo istante in cui si è verificato. Il marcatempo snocciola numeri uno dopo l'altro in ordine crescente e questa costituisce una "scala temporale".

I ragionamenti precedenti dimostrano che noi possiamo agire sul marcatempo in maniera da "saltare" dei numeri senza creare difficoltà insormontabili. In un certo senso, è quanto accade al nostro stato di coscienza mentre dormiamo: ci risvegliamo in un mondo nel corso della notte cambiato, ma sono sufficienti pochi istanti per rimetterci al passo con il mondo. O quando rimettevamo le lancette dell'orologio che, causa la molla scarica, era rimasto indietro.

Al contrario, riportare la scala temporale all'indietro, è in urto con la natura del cambiamento che - forse veramente solo per ragioni statistiche - procede in un solo verso. Posso mettere indietro le lancette della sveglia, ma fisicamente è impossibile risvegliarsi il giorno prima [1]. Il postino suoni pure due volte, ma mai nello stesso istante (a meno che non suoni tra le due e le tre dell'ultima domenica di ottobre).

L'orologio fermo

E' sera. Mio padre sale le scale e sbarca al primo piano. Apre il cassetto del mobile dell'ingresso e ne estrae una chiave. Quindi sale ancora due gradini, apre lo sportellino dell'orologio appeso alla colonna che da sulle scale, infila la chiave nell'apposita fessura e cominciava a girarla per caricare la molla. Dalla camera da letto, ad intervalli regolari di mezzo giro, sentivo il rumore della molla che si caricava.

Con l'arrivo degli orologi alimentati a pila, mio padre smise di caricare l'orologio che, su una qualche ora a me ignota, si fermò.

Da allora, ad ogni evento era associato lo stesso istante. Sotto il profilo analitico, la funzione costante. Sotto il profilo grafico, la retta parallela all'asse del tempo solare, situazione limite per la perdita dell'iniettività: all'unico valore dell'ora "fermata" corrisponde un qualsiasi istante dell'ora solare!

Non oso pensare ai paradossi che una simile situazione potrebbe generare.

NOTE

[1] Antonio Albanese è il protagonista del remake di un film americano la cui trama gioca su questo paradosso; nel film il protagonista si risveglia sempre alle 7 dello stesso giorno. Il fatto che l'originale fosse americano sarebbe stato motivo sufficiente per non farne un remake italiano.