ANTEFATTO
“La mente matematica”, capitolo secondo, “Che cos’è la matematica” – David De Ruelle – Dedalo Edizioni, Bari 2009; dopo aver esposto il teorema talvolta noto come “primo criterio di uguaglianza dei triangoli” - di fatto la proposizione 4 del libro I dei celebri “Elementi”, l’opera scritta dal matematico greco Euclide ad Alessandria di Egitto nel terzo secolo avanti Cristo che ha costituito per molti secoli il riferimento obbligatorio per la geometria - l’autore scrive «Chiunque abbia una discreta padronanza dell’italiano e un pizzico d’intelligenza visiva, avrà capito le considerazioni esposte sopra e le avrà trovate di una noia mortale. Infatti, dopo averne afferrato il senso, quasi certamente le giudicherà terribilmente banali e ovvie.». Personalmente lo considero un pessimo esempio di divulgazione della matematica.
TEOREMA O POSTULATO?
La più semplice tra le ricerche nel WEB, la pagina italiana di Wikipedia, alla voce “Criteri di congruenza dei triangoli” in merito a quel criterio recita «Questo criterio va preso come postulato. Euclide, negli Elementi, ne dà una dimostrazione, effettuata tramite il trasporto di segmenti e di angoli (I, 4). Questo metodo, tuttavia, non è valido, come è stato mostrato dalla matematica moderna, quindi l'intera dimostrazione viene invalidata, come ha fatto notare David Hilbert. Questo criterio costituisce l'assioma III.6 degli assiomi di Hilbert quindi l’intera dimostrazione viene invalidata, come ha fatto notare David Hilbert.» La differenza tra assioma e teorema è sostanziale e corrisponde rispettivamente a quella tra una verità indimostrata, tuttavia assunta come tale, e dimostrata.
LA PROPOSIZIONE IV
Il riquadro riporta la traduzione in lingua italiana della dimostrazione di Euclide. Il passaggio incriminato è nella frase “Si concepisca sovrapposto il triangolo ABC al triangolo DEF …”.
Il dizionario Treccani definisce: «sovrappórre … 1. Porre una cosa sopra a un’altra. In particolare, con riferimento a oggetti, metterli uno sull’altro in modo che coincidano o che la superficie dell’uno combaci con quella dell’altro.» motivo per il quale i commentatori hanno ritenuto che la dimostrazione sottintenda quella di movimento, nozione tuttavia estranea alla geometria greca. Non perché il movimento sia già di per sé problematico - ci si deve infatti assicurare che la figura non si deformi a causa del moto – ma soprattutto perché, «The contrast with the first [“first” è riferito all’approccio intrapreso da Klein, tra poco chiarirò di cosa si tratta] development consists in this, that now [“now” è l’approccio di Euclide] the concept of motion is consistently avoided, or, at most, brought in as an afterthought. The fact that this arrangement was preferred in ancient times, as it frequently still is, was due, in part, to philosophical considerations, which I should at least mention. It was feared that motion would bring into geometry an element foreign to it, namely, the notion of time.» [Felix Klein, “Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint: Geometry”].
I greci – meglio, certamente Euclide e Platone, Archimede forse anche no - concepivano la geometria come disciplina per eccellenza dell’Essere, quindi immutabile e non soggetta al Divenire, la cui manifestazione primaria è proprio il tempo.
Osservazione: lunghezza e movimento
Immaginate di possedere un esemplare del cosiddetto “regolo”, vale a dire un’asticciola di legno a sezione quadrata costruita per tracciare linee dritte. Confrontandola con un metro campione scoprite che misura esattamente un metro. Adesso spostate l’asticciola posizionandola in un punto diverso dello spazio; vi chiedete: la lunghezza del regolo sarà cambiata? Dovete confrontarla con un metro campione e vi lascio due possibilità: 1) spostate il metro campione precedente, con il legittimo sospetto che anche quello si deformi durante il moto;
2) usate un metro campione che trovate lì sul posto, con il legittimo sospetto che sia di lunghezza diversa dal primo.
Quale alternativa preferite?
IL PROGRAMMA DI ERLANGEN
L’alternativa è quella proposta da Felix Klein, matematico tedesco noto per essere stato il promotore del Programma di Erlangen del quale Wikipedia afferma «… fornì l'approccio unificato alla geometria che oggi è accettato come standard».
Egli introdusse la nozione di “trasformazione”, un termine invero infelice perché sembra sottintendere di nuovo un “mutamento” che non c’è. La trasformazione è solo l’associazione, il mettere in relazione due enti che già esistono. La congruenza allora è la proprietà goduta da due enti legati da un particolare tipo di trasformazione: l’isometria. Trasformazione che – come indica la stessa etimologia del nome – mette in relazione segmenti dotati della stessa misura.
A testimonianza delle mie affermazioni riporto il commento alla proposizione 4 formulato da Attilio Frajese [Frajese, Maccioni – Gli Elementi di Euclide – UTET, Classici della scienza – 1977].
FORMALIZZAZIONE
Poiché non posso credere che a De Ruelle non sia nota la distinzione tra uguaglianza e congruenza, ne devo concludere che egli abbia voluto glissare sul tema poiché ritenuto superfluo, un dettaglio noioso che sarebbe stato solo motivo per il lettore per abbandonare la lettura del libo. Del resto, nonostante La perdonabile svista del matematico greco, il criterio “funziona” da oltre duemila anni, se per “funziona” intendiamo che le conseguenze di quel teorema continuano ad essere applicate con successo oggi.
È andata così anche per il “calcolo”: dopo la sua invenzione da parte di Newton e Leibniz ci sono voluti trecento anni per dare a quella teoria una sistemazione ritenuta definitiva. La “formalizzazione”, termine con il quale intendo il lungo processo di sistematizzazione di una nuova intuizione, è dunque inutile?
Può darsi, sicuramente non dal mio punto di vista, e comunque è un processo tipico della storia della matematica. Nella fattispecie, la riscrittura degli elementi di Euclide da parte di Hilbert non è stata solo un esercizio di stile ma ha influenzato gli sviluppi della matematica del XX secolo: come ha scritto Gabriele Lolli nel libro dedicato al matematico tedesco, «Ogni teoria può essere applicata a infiniti sistemi di enti fondamentali”, spiegava Hilbert illustrando il carattere assiomatico della nuova matematica. Per la geometria usava una battuta fortunata: “Invece di ‘punti, rette, piani’ dobbiamo ugualmente poter dire ‘tavoli, sedie, boccali di birra’”.»
Insomma liquidare la questione con un «… equals or, as someone says, congruent» è decisamente riduttivo.
A POSTERIORI …
Risolvere un cruciverba con la soluzione alla mano non è molto divertente. L’esposizione della matematica a posteriori, vale a dire quando qualcuno ha già rimosso gli ostacoli incontrati lungo il cammino, soffre della stessa difficoltà. L’uguaglianza di due triangoli comporta la contemporanea uguaglianza di tre lati e tre segmenti, in tutto sei “parametri”. Il problema è: è possibile stabilire l’uguaglianza con un numero di enti inferiore a sei? Due parametri non sono sufficienti, tre lo sono ma solo in alcuni casi. Questo ci dicono i criteri di uguaglianza. Le domande allora fioccano: perché alcune combinazioni funzionano ed altre no? Quale “ingrediente” manca in quelle che non funzionano? E’possibile, con le dovute modificazioni, scambiare tra loro il ruolo di lati e angoli? E se aumentiamo il numero di lati? Ad esempio, non è strano che, per una determinata lunghezza, esista un solo triangolo con tutti i lati di quella lunghezza (a meno di quelli a quello congruenti!) ed invece i rombi con i lati di quella lunghezza siano infiniti?
IL TEOREMA DEL COSENO
La proposizione quattro può essere riletta anche in un’altra maniera. Affermare che due triangoli aventi due lati e l’angolo tra essi compreso sono uguali significa che la misura del terzo lato è univocamente determinata una volta noti quegli elementi. In altre parole deve esistere una funzione che associa a quei tre elementi la lunghezza del terzo lato e, se siamo fortunati, esiste anche una formula per calcolarne il valore. Infatti così è, come dimostra il teorema di Carnot (teorema del coseno), una importante generalizzazione del teorema di Pitagora. La formula che ho estratto da Wikipedia mostra inequivocabilmente il legame con la proposizione IV.
E SIR THOMAS HEALT COSA NE PENSA?
Vi lascio con - altra questione che complica la divulgazione della matematica, perché tutto è già stato detto e, spesso, in maniera insuperabile - il commento alla proposizione IV nell’edizione degli “Elementi” - che potete trovare all'indirizzo https://www.wilbourhall.org/pdfs/heath/1_euclid_heath_2nd_ed.pdf - commentata da Sir Thomas Healt, riconosciuto un’autorità in materia di matematica sviluppata dagli antichi greci.
La traduzione dal latino della citazione da Peletarius in fondo alla nota, come si dice in questi casi, la lascio al lettore (che può usufruire, allo scopo, di Google traduttore).
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