OLISMO E RIDUZIONISMO SI SFIDANO NEL DATO AGGREGATO

«Il terzo, di condurre i miei pensieri in un ordine tale che, cominciando con oggetti semplici e facili da conoscere, potessi salire poco alla volta, e come per gradini, alla conoscenza di oggetti più complessi; assegnando nel pensiero un certo ordine anche a quegli oggetti che nella loro natura non stanno in una relazione di antecedenza e conseguenza.»

René Descartes, Discorso sul Metodo.

Sono passati ormai vent’anni da quando mi interessai alla diatriba riduzionismo vs. olismo. I cui termini, tuttavia, non mi sono mai stati chiari. Per riduzionismo si intende l’idea che lo studio dei fenomeni possa ricondursi all’interazione di entità elementari mentre l’olismo è sempre introdotto con la celebre frase “il tutto non è la somma delle parti”.(Olismo - Wikipedia) Che i più ritengono molto profonda, mentre a me sembra piuttosto banale. Che vi sia differenza tra un muro ed un mucchio di mattoni lo trovo abbastanza scontato. Neppure il riduzionista più sfegatato vi dirà che, una volta conosciute le proprietà del mattone, non vi è bisogno di altro per capire perché un muro “sta su”.

La verità è che sebbene al centro dei modelli matematici costruiti dai fisici per comprendere la realtà vi siano delle “unità atomiche”, qui intese come non ulteriormente divisibili, che il tutto non sia la mera somma delle parti entra in gioco nel momento in cui queste unità si assemblano per la costruzione del tutto. Gli ingegneri progettano le strutture considerando l’unità atomica “trave”, senza necessità di scendere ad un ulteriore livello di dettaglio, ma uno stesso insieme di travi può essere connesso tra loro in molte modalità diverse, e il comportamento del “tutto” si modifica notevolmente a seconda della modalità scelta. Ad un livello più fondamentale, mi vengono in mente proprio le leggi di Newton. La seconda legge della dinamica afferma che «Il cambiamento di moto è proporzionale alla forza motrice applicata, e avviene lungo la linea retta secondo la quale la forza stessa è esercitata.», vale a dire che l’accelerazione agente su un punto materiale è proporzionale alla risultante delle forze agenti, e questa mi sembra un’affermazione riduzionista, tuttavia la terza afferma «A un'azione è sempre opposta un'uguale reazione: ovvero, le azioni vicendevoli di due corpi l'uno sull'altro sono sempre uguali e dirette verso parti opposte.» o, nella versione più diffusa, che ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria, e questo è puro olismo: metti insieme tanti punti materiali, ad esempio il sole e gli otto pianeti che vi ruotano attorno, e scoprirai che il moto di uno di loro non può essere studiato a prescindere da quello degli altri [1].

Se invece i difensori dell’olismo volessero sottintendere che la Natura non è universalmente soggetta al principio di sovrapposizione degli effetti o, in altre parole, che non sono sufficienti modelli lineari per descriverla, beh, anche questa mi sembra una banalità: da sempre i matematici sanno che la linearità è solo il primo e più semplice grado di approssimazione.

Lascio ai filosofi disquisire nel merito, limitandomi qui a esporre un caso incocciato nell’analisi dei dati in cui la distinzione olismo vs riduzionismo potrebbe avere un significato più concreto. Chiunque abbia lavorato con dei dati numerici fa conoscenza del cosiddetto “dato aggregato”. Il più famoso è il “totale”, che si calcola – in ottemperanza ad una nota battuta del Principe De Curtis – con la somma. Al secondo posto si classifica la media aritmetica, che si calcola dividendo il totale per il numero di addendi. Sono oggi d'uso comune altre forme di aggregazione, quali il massimo, il minimo, la deviazione standard, ecc. Una qualsiasi funzione che ad un dato insieme di numeri associa un unico numero è detta funzione di aggregazione. La definizione di dette funzioni pone un problema matematico che io (stavolta non solo io) ho trovato interessante: siano date due serie distinte di dati, di ciascuna delle quali si conosce il valore aggregato; il valore aggregato della serie unione delle prime due serie date è l’aggregato dei due valori precedenti?

Un esempio chiarisce la questione. Siano [1,2] la prima serie e [3,4] la seconda. I rispettivi totali sono 1+2=3 e 3+4=7. Orbene, se adesso uniamo le due serie nell’unica serie [1, 2, 3, 4], il totale di questa serie è pari alla somma dei precedenti totali (parziali)? La risposta è ovviamente “si”. Affermo allora che la somma è una funzione di aggregazione “riduzionista”, nel senso che “il tutto – qui inteso come il totale finale – coincide con la somma delle parti – intesi come i totali parziali”. Generalizzando, dirò “riduzionista” una funzione di aggregazione tale che “l’aggregato finale coincida con il l’aggregazione dei singoli aggregati parziali”; in caso contrario, sarà detta “olistica”. Nell’esempio di sopra, la funzione massimo è riduzionista, infatti:

MAX [1, 2] = 2

MAX [3, 4] = 4

MAX [1, 2, 3 ,4] = 4 = MAX [2, 4] = MAX [ MAX [1, 2], MAX [3, 4]]

La questione non costituisce una mera curiosità, ed i vantaggi pratici offerti dalle funzioni riduzioniste sono evidenti: ogni volta che si accodano nuovi dati, non è necessario cominciare daccapo per calcolare il valore aggregato. Se ogni giorno registriamo le temperature massime e minime misurate, per conoscere la temperatura massima al giorno n+1 dell’anno non è necessario ripercorrere la serie storica a partire dal 1° gennaio, è sufficiente conoscere il valore aggregato (cioè il massimo e il minimo) al giorno precedente. Parimenti, se conoscete il fatturato relativo a zone diverse e decidete di aggregare alcune di esse, non è necessario ripartire daccapo per calcolare l’importo delle zone aggregate (l'immagine mostra come, attraverso un metodo noto come "Dividi et impera" si può calcolare in parallelo la somma di sei elementi; capite da soli che quando si hanno milioni di dati, calcolare in parallelo riduce decisamente i tempi di attesa).

Nell’esempio precedente, proviamo a calcolare la media:

media [1, 2] = 1,5

media [3, 4] = 3,5

media [1, 2, 3 ,4] = 2,5 = MAX [1,5, 3,5] = media [media [1, 2], media [3, 4]]

Anche la media sembra essere una funzione riduzionista, ma – come tanto piace raccontare agli divulgatori della matematica – in matematica una rondine non fa primavera! Infatti, la media aritmetica di N numeri è definita come

Se alla serie si accoda un ulteriore valore, si ha:

diverso, in generale da:

La media è dunque una funzione olistica: la media dell’unione di più serie di dati non coincide con la media delle singole medie, tuttavia ... tuttavia Wikipedia, alla pagina Funzione di aggregazione - Wikipedia , vi spiega come ricondurre la media e la deviazione standard a combinazioni di funzioni “riduzioniste”, distruggendone l’aurea olistica [2]. Mi vien voglia di dirle "riduzioniste di ordine 2". Il che pone un problema del quale non conosco la soluzione: esistono funzioni di interesse pratico [3] che non riconducibili a funzioni riduzioniste? E sul piano teorico? Vi farò sapere l'esito della caccia.

NOTE

[1] Persino il semplice sistema terra - sole va studiato nel suo complesso, per scoprire che terra e sole ruotano attorno al baricentro del sistema.

[2] Se leggete la pagina che vi ho suggerito, scoprirete che le funzioni da me denominate “riduzioniste” sono tecnicamente denominate “scomponibili” e “auto-scomponibili”; trovo la mia scelta notevolmente più simpatica.

[3] per “interesse pratico” potete considerare, ad esempio, le diciannove funzioni di aggregazione citate alla pagina dedicata da Microsoft alla spiegazione della nuova funzione AGGREGA disponibile su Excel AGGREGA (funzione AGGREGA) - Supporto tecnico Microsoft